On le nomme Ajax le Grand pour faire la différence entre l'autre Ajax fils de Oïlée.
Il prétendit à la main d'Hélène et on l'a dit le plus vaillant des Grecs après Achille. Il fut un héros de la guerre de Troie. Il ne fut jamais blessé lors des combats, il était invulnérable quoique plusieurs fois touché pas les flèches ennemies.
Lors d'un combat, il voulut écraser Hector sous un rocher mais la nuit étant venues ils cessèrent le combat et se réconcilièrent en échangeant des présents. Ajax donna sa ceinture pourpre et Hector son épée.
Lorsque Achille mourut, Ajax et Ulysse désiraient s'approprier ses armes. Elles ne pouvaient appartenir qu'à un homme aussi brave que Achille et il y en avait deux, Ajax et Ulysse. Pour rendre un jugement on se reféra à l'ennemi qui remit à Ulysse l'héritage d'Achille.
Ajax devenu fou par vengeance d'Athéna, égorgea tout un troupeau de moutons, croyant qu'il tuait des Grecs. Réalisant après coup ce qu'il venait de faire, il se suicida.
Les Grecs refusaient de lui donner une sépulture, mais Ulysse réussit à les convaincre. Les armes d'Achille tombèrent à la mer qui les rejeta près de son tombeau.
Ainsi un hommage fut rendu à Ajax le grand, ce Héros de la guerre de troie !